Dimostro: l’insieme R non e’ numerabile

Posso dimostrare che l’insieme dei numeri reali non è numerabile usando il metodo diagonale di Cantor, un argomento classico di teoria degli insiemi. Ecco la dimostrazione passo per passo:

Teorema:

L’insieme dei numeri reali R\mathbb{R}R non è numerabile, cioè non esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri naturali N\mathbb{N}N e l’insieme dei numeri reali R\mathbb{R}R.

Dimostrazione:

1. Assumiamo per assurdo che i numeri reali siano numerabili. Ciò significa che esiste una corrispondenza biunivoca tra N\mathbb{N}N e R\mathbb{R}R, quindi possiamo elencare i numeri reali come una sequenza infinita:r1,r2,r3,…r_1, r_2, r_3, \dotsr1​,r2​,r3​,…dove ogni rir_iri​ è un numero reale tra 0 e 1 (per semplificare la dimostrazione, consideriamo solo i numeri reali compresi tra 0 e 1).
2. Ogni numero reale rir_iri​ può essere scritto come una espansione decimale:r1=0.a11a12a13…r_1 = 0.a_{11}a_{12}a_{13}\dotsr1​=0.a11​a12​a13​… r2=0.a21a22a23…r_2 = 0.a_{21}a_{22}a_{23}\dotsr2​=0.a21​a22​a23​… r3=0.a31a32a33…r_3 = 0.a_{31}a_{32}a_{33}\dotsr3​=0.a31​a32​a33​… …\dots…dove aija_{ij}aij​ è la jjj-esima cifra decimale del numero rir_iri​.
3. Costruiamo un nuovo numero reale rrr, che sarà diverso da tutti i numeri nella lista, utilizzando il metodo diagonale: Definiamo rrr in modo tale che la sua iii-esima cifra decimale sia diversa dalla iii-esima cifra del numero rir_iri​. Cioè, definiamo r=0.b1b2b3…r = 0.b_1b_2b_3\dotsr=0.b1​b2​b3​… dove:bi={1se aii≠12se aii=1b_i = \begin{cases} 1 & \text{se } a_{ii} \neq 1 \\ 2 & \text{se } a_{ii} = 1 \end{cases}bi​={12​se aii​=1se aii​=1​In questo modo, il numero rrr differisce da r1r_1r1​ nella prima cifra, da r2r_2r2​ nella seconda cifra, da r3r_3r3​ nella terza cifra, e così via.
4. Poiché rrr differisce da ogni numero rir_iri​ almeno in una cifra, il numero rrr non appartiene all’elenco.
5. Questo contraddice l’assunzione che l’insieme dei numeri reali tra 0 e 1 sia numerabile, poiché abbiamo costruito un numero reale che non appare nell’elenco. Pertanto, l’insieme dei numeri reali non è numerabile.

Conclusione:

L’insieme dei numeri reali R\mathbb{R}R è non numerabile.

Questa dimostrazione mostra che non possiamo creare una corrispondenza biunivoca tra i numeri naturali e i numeri reali, quindi i numeri reali formano un insieme di cardinalità maggiore rispetto ai numeri naturali.